Question

各项均不相等的等差数列{a_n}的前n项为S_n，已知S₆=60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求a_n及S_n．
（2）数列{b_n}满足b_n=S_n-2n（n∈N^*），求{

1

bn

}的前n项和Tn．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a₁，根据等差数列的通项公式和求和公式，分别求得a_n及前n项和S_n；
（2）由（1）中的a_n和S_n，结合条件化简后求得b_n，再利用裂项法求得

1

bn

，代入前n项和T_n再相消后化简即可．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得

6a1+15d=60 (a1+5d)2=a1(a1+20d)

，
解得a₁=5，d=2，故a_n=2n+3，S_n=n（n+4）；
（2）b_n=S_n-2n=n（n+4）-2n=n（n+2），
∴

1

bn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，以及裂项法求和，注意由数列的通项公式的特点来确定数列求和的方法．