Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0，且对任意的x∈[0，+∞），f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（1）求a，b的值；
（2）求实数k的最小值；
（3）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln（n+1）+2（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）先求导数，由切线的斜率，得到方程，同时求出切点，又得到方程，解出a，b即可；
（2）写出f（x）的解析式，求出导数，将条件转化为-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立，设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），设h（x）=2x²+x+k-1，讨论判别式△=1-8（k-1）≤0，△=1-8（k-1）＞0，结合k-1≥0，分别求出k的取值范围，再求并集；
（3）令k=1，有-x²+x≤ln（x+1），即x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，令x=

1

n

，
得

1

n

≤

1

n2

+ln（

1

n

+1）=

1

n2

+ln（n+1）-lnn，再由累加法，和放缩法，主要是运用

1

n2

＜

1

(n-1)n

（n＞1）
即可得证．

解答： （1）解：f′（x）=3ax²+2bx，f′（2）=-2，∴12a+4b=-2①
将x=2代入切线方程得y=-

2

3

，∴8a+4b=-

2

3

②
①②联立，解得a=-

1

3

，b=

1

2

；
（2）解：由（1）得，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²，f′（x）=-x²+x，
∴-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，
即x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），
g′（x）=2x-1+

k

x+1

=

2x2+x-1+k

x+1

，x∈[0，+∞），
设h（x）=2x²+x+k-1，
1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥

9

8

时，h（x）≥0，
∴g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增，∴g（x）≥g（0）；
2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜

9

8

时，设x₁，x₂是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由x₁+x₂=-

1

2

，可知x₁＜0，
分析题意可知当x₂≤0时对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）；
∴k-1≥0，k≥1，∴1≤k＜

9

8

，
综上分析，实数k的最小值为1．
（3）证明：令k=1，有-x²+x≤ln（x+1），
即x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立，
令x=

1

n

，得

1

n

≤

1

n2

+ln（

1

n

+1）=

1

n2

+ln（n+1）-lnn，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≤1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+（ln（n+1）-lnn）
=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+ln（n+1）＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

+ln（n+1）
=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+ln（n+1）=2-

1

n

+ln（n+1）
＜ln（n+1）+2．
即原不等式得证．

点评：本题综合考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值最值、利用已经证明的结论证明数列不等式等基础知识与基本技能，考查了分类讨论思想方法、推理能力和计算能力．