Question

已知函数f（x）=alnx+x²-10x，若x=1是该函数的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，a）（a＞1）上是单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数f′（x），由f′（1）=0求得a的值，进而分析导函数在定义域内各个区间上的符号，进而得到函数f（x）的单调区间；
（2）由（1）中函数f（x）的单调递减区间为（1，4），可得若函数f（x）在[1，a）上是单调减函数，则[1，a）⊆[1，4]，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=alnx+x²-10x，
∴函数f′（x）=

a

x

+2x-10，
又∵x=1是该函数的一个极值点．
∴f′（1）=a-8=0，即a=8，
则f′（x）=

8

x

+2x-10=

2x2-10x+8

x

=

2(x-1)(x-4)

x

，
当x∈（0，1]∪[4，+∞）时，f′（x）≥0，当x∈[1，4]时，f′（x）≤0，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1]，[4，+∞）；单调递减区间为[1，4]；
（2）由（1）中函数f（x）的单调递减区间为（1，4），
若函数f（x）在[1，a）上是单调减函数，
则[1，a）⊆[1，4]，
故1＜a≤4，
故实数a的取值范围为（1，4]．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，是导数的简单综合应用，难度不大，属于中档题．