Question

解不等式：ax²-（a²-a-1）x-a+1≤0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：当a=0时，不等式化为x+1≤0，解出即可；当a≠0时，ax²-（a²-a-1）x-a+1≤0化为
a(x-

-1

a

)[x-(a-1)]≤0．比较a-1与-

1

a

的大小，分类讨论a＞0与a＜0两种情况即可得出．

解答： 解：当a=0时，不等式化为x+1≤0，解得x≤-1，此时不等式的解集为{x|x≤-1}；
当a≠0时，ax²-（a²-a-1）x-a+1≤0化为（ax+1）[x-（a-1）]≤0．即a(x-

-1

a

)[x-(a-1)]≤0．
∵a-1-(-

1

a

)=

a2-a+1

a

=

(a- 1 2 )2+ 3 4

a

．
∴当a＞0时，a-1＞-

1

a

，不等式的解集为{x|-

1

a

≤x≤a-1}．
当a＜0时，a-1＜-

1

a

，不等式的解集为{x|x≥-

1

a

或x≤a-1}．
综上可得：当a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|-

1

a

≤x≤a-1}．
当a＜0时，不等式的解集为{x|x≥-

1

a

或x≤a-1}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．