Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，且对任意的正整数n，m，都有a_n+m=a_n+a_m．
（Ⅰ）求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用已知条件通过m，n=1，2，直接计算a₂，a₃，a₄的值，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由数列{a_n}中，已知a₁=2，且对任意的正整数n，m，都有a_n+m=a_n+a_m，
可得，m=n=1时，a₂=2a₁=4；m=1，n=2时，a₃=a₂+a₁=6；
m=1，n=3时，a₄=a₃+a₁=8．…（3分）
（Ⅱ）猜想 a_n=2n．…（4分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=2，右边=2×1=2，猜想成立．
…（6分）
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_k=2k．…（7分）
则n=k+1时，a_k+1=a_k+a₁=2k+2=2（k+1）．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N^*都成立．…（9分）

点评：本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．