Question

【题目】已知点M是圆C：（x+1）2+y2＝8上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足2，0，动点N的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

（1）由已知得NP为DM的垂直平分线，|ND|＝|NM|，，由此能求了轨迹E的方程．

（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值．

（2）法二：设直线AB的方程为y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△AOB面积S的最大值．

（1）解：因为，，

所以NP为DM的垂直平分线，

所以|ND|＝|NM|，又因为，

所以

所以动点N的轨迹是以点C（﹣1，0），D（1，0）为焦点的长轴为的椭圆．

所以轨迹E的方程为．

（2）解法一：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，

则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx+m，

由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，

所以，

因为|AB|＝2，所以，即

所以，即，

因为1+k2≥1，所以．

又点O到直线AB的距离，

因为h，

所以S2＝h2＝2m2（1﹣m2）

所以，即S的最大值为．

（2）解法二：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，

则弦AB不能与x垂直，故可设直线AB的方程为y＝kx+m，

由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，

所以，．

因为|AB|＝2，所以．

因为，

所以，

所以，

又点O到直线AB的距离，所以h．

所以S2＝h2．

设，则，

所以，即S的最大值为．