Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.
 
(1) 求直线BD的方程；
(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；
(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x²＋(y－3)²＝2，(x－2)²＋(y－1)²＝2

1) 设P(x₀，y₀)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x₀，y₀)，所以x₀＝1，将其代入椭圆，得y₀＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.
(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.
(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x²＋(y－3)²＝2，(x－2)²＋(y－1)²＝2