Question

10．在数列{a_n}中，a_n+1=3a_n+3ⁿ，a₁=1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由题意化简可得$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1，从而构造数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}是等差数列，从而解得．

解答 解：∵a_n+1=3a_n+3ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$+1，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{3}^{0}}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1+（n-1）=n，
故a_n=n•3^n-1．

点评 本题考查了等差数列的应用及构造法的应用，同时考查了学生的化简运算能力．