Question

4．已知三棱柱ABC-A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．
（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；
（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．

Answer 1

分析 （1）根据直三棱柱的表面积公式进行求解即可．
（2）作出棱柱的高，结合三棱柱的体积公式进行求解即可．

解答 解：（1）因为侧棱AA′⊥底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA′的长，
而底面三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BC=6，
周长c=4+3+5=12，
于是三棱柱的表面积S_全=ch+2S_△ABC=132．
（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，A′H为三棱柱的高． 
因为侧棱AA′与底面ABC所长的角为60°，
所以∠A′AH=60°，
又底面三角形ABC的面积S=6，故三棱柱的体积V=S•A′H=6×$5\sqrt{3}$=30$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三棱柱的表面积和体积的计算，根据直三棱柱和斜三棱柱的特点和性质，结合棱柱的表面积和体积公式进行计算是解决本题的关键．