Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，面PCD⊥面ABCD，PC=PD=CD=2，点M为线段PB上异于P、B的点．
（Ⅰ）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM
（Ⅱ）当二面角B-AC-M的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，试确定点M的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当点M为PB的中点时，根据线面平行的判定定理即可证明PD∥平面ACM
（Ⅱ）建立坐标系设出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（I）设AC、BD的交点为N，连结MN，
因为M、N分别为BP、BD的中点，
所以PD∥MN，
又MN?平面ACM，
所以PD∥平面ACM；
（II）设CD的中点为O，因为PC=PD=CD=2，面PCD⊥面ABCD，
所以PO⊥面ABCD，
又因为在菱形ABCD中，∠ADC=60°，
所以OA⊥CD，
建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，2，0），C（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BP}$，（0＜λ＜1），
则$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{CB}$+λ$\overrightarrow{BP}$=（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ，1-2λ，$\sqrt{3}$λ），
$\overrightarrow{CA}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
设平面ACM的法向量为 $\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）x+（1-2λ）y+\sqrt{3}λz=0}\end{array}\right.$
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=3-$\frac{2}{λ}$，即$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，3-$\frac{2}{λ}$），
又平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|3\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{λ}|}{\sqrt{13+\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{12}{λ}×\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得：λ=$\frac{1}{2}$或λ=1（舍去），
所以点M为线段PB的中点．

点评 本题主要考查空间线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．