Question

16．已知幂函数y=f（x），f′（x）为f（x）的导函数，f（x）在区间[0，1]上图象如图所示．对满足：0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁、x₂，给出下列结论：
①f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
③$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
④[f′（x₁）-f′（x₂）]（x₁-x₂）＞0
其中一定正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②③

Answer 1

分析 由函数的图象，我们可根据$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$（图象上任意两点之间的斜率）与1的大小判断①的对错；根据得$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$与$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$（图象上任意两点与原点连线的斜率）的大小判断②的正误；再根据函数图象是凸增的，我们可判断③的真假；得到f′（x）在（0，1）递减，由x₁＜x₂得：f′（x₁）＞f′（x₂），（x₁-x₂）＜0，从而判断正误．

解答 解：由f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁，可得 $\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞1，
即两点（x₁，f（x₁））与（x₂，f（x₂））连线的斜率大于1，
显然①不正确；
由x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），得 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$＞$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
即表示两点（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂））与原点连线的斜率的大小，
可以看出结论②正确；
结合函数图象，容易判断③的结论是正确的，
结合图象函数递增的速度减小，故f′（x）在（0，1）递减，
由x₁＜x₂得：f′（x₁）＞f′（x₂），即f′（x₁）-f′（x₂）＞0，（x₁-x₂）＜0，
故④[f′（x₁）-f′（x₂）]（x₁-x₂）＜0，④错误；
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的图象和直线的斜率，解答的关键是结合函数图象分析结论中式子的几何意义，然后进行判断．