Question

10．定在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（$\frac{1}{3}$）=0，则适合不等式f（log${\;}_{\frac{1}{27}}$x）＞0的x的取值范围是（0，$\frac{1}{3}$）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的对称性可将不等式f（log${\;}_{\frac{1}{27}}$x）＞0等价为：f（|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|）＞f（$\frac{1}{3}$），解此不等式即可得到所求的解集．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（$\frac{1}{3}$）=0
∴f（log${\;}_{\frac{1}{27}}$x）＞0等价为：f（|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|）＞f（$\frac{1}{3}$），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|＞$\frac{1}{3}$，∴log${\;}_{\frac{1}{27}}$x＞$\frac{1}{3}$或log${\;}_{\frac{1}{27}}$x＜-$\frac{1}{3}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞3．
即不等式的解集为{x|x＞3或0＜x＜$\frac{1}{3}$}
故答案为：（0，$\frac{1}{3}$）∪（3，+∞）

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．