Question

【题目】如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；
（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；
（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，因为AB⊥平面BCD，

所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，

因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，

由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，

∴BD= =2 ，CD= =2 ，

则VA﹣BCD= = =

=

（2）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，2，2），D（2 ，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（ ），

=（2 ，﹣2，﹣2）， =（ ），

设异面直线AD与CM所成角为θ，

则cosθ= = = ．

θ=arccos ．

∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos ．

【解析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．
【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系)．