Question

设函数f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常数a＞1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（I）先求出f′（x），分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）分别求出f（x）的极大值，极小值，由题设知

a＞1 f(2)=28a- 4 3 ＜0

或 

a＞1 f(2a)=- 4 3 a3+4a2+24a＞0

，解出即可．

解答： 解：（I）f′（x）=（x-2）（x-2a），
由a＞1知，f′（x）＞0?x＜2或x＞2a；
f′（x）＜0?2＜x＜2a；
综上知，当a＞1时，f（x）的递增区间为（-∞，2）和（2a，+∞），递增区间为（2，2a）．
（II）由（I）知，当x=2时，f（x）取得极大值f(2)=28a-

4

3

． 
当x=2a时，f（x）取得极小值f(2a)=-

4

3

a3+4a2+24a．  
由题设知

a＞1 f(2)=28a- 4 3 ＜0

或 

a＞1 f(2a)=- 4 3 a3+4a2+24a＞0

解得 1＜a＜6，故a的取值范围是（1，6）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的零点问题，考查导数的应用，是一道中档题．