Question

已知函数f（x）=

2x-a

2x+a

，若f（x）为定义在R上的奇函数，则（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）求证：f（x）在R上为增函数；（4）若m为实数，解关于x的不等式：f（1）＞f（mlgx）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的定义，容易求出a的值．
（2）根据解析式的特点求值域；
（3）利用函数单调性的定义证明函数的增函数；
（4）借助函数是增函数转化不等式进而求解．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=

2x-a

2x+a

定义在R上的奇函数，
所以f（0）=

20-a

20+a

=0，解得：a=1（3分）
（2）∵f(x)=

2x-1

2x+1

，则2x=

1+f(x)

1-f(x)

，由2^x＞0，得

1+f(x)

1-f(x)

＞0，∴f（x）∈（-1，1）（6分）
（3）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上为增函数．（9分）
（4）因为f（x）在R上为增函数，所以mlgx＜1，（10分）
当m＞0时，x∈(0，10

1

m

)；（12分）  当m=0时，x∈（0，+∞）；（14分） 当m＜0时，x∈(10

1

m

，+∞)（16分）

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，其定义是解决该类问题的基本方法．