Question

（2007•浦东新区二模）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程．
（2）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，得到△ABD；再分别过弦AD、BD的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点E，F，得到△ADE和△BDF；按此方法继续下去．
解决下列问题：
①求证：a2=

16(1-kb)

k2

；
②计算△ABD的面积S_△ABD；
③根据△ABD的面积S_△ABD的计算结果，写出△ADE，△BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义即可得出；
（2）①把直线AB的方程与抛物线方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用|y₁-y₂|=a（a＞0）即可得出；
②利用中点坐标公式和三角形的面积计算公式即可得出；
③由问题②知，△ABD的面积值仅与|y₁-y₂|=a有关，由于|yA-yD|=

a

2

 ，   |yB-yD|=

a

2

，可得△ADE与△BDF的面积S△ADE=S△BDF=

( a 2 )3

32

=

a3

32×8

=

a3

256

，设an=2n-1•

a3

32×8n-1

=

a3

32×4n-1

．由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积．看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a_n}的无穷项和，

解答：解：（1）由抛物线定义，抛物线C：y²=2px（p＞0）上点P（4，y₀）到焦点的距离等于它到准线x=-

p

2

的距离，得5=4+

p

2

 ， ∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）由

y2=4x y=kx+b

，得ky²-4y+4b=0，（或k²x²+（2kb-4）x+b²=0）
当△=16-16kb＞0，即kb＜1且k≠0时，y1+y2=

4

k

 ， y1y2=

4b

k

（或x1+x2=

4-2kb

k2

 ， x1x2=

b2

k2

）
①由|y₁-y₂|=a，即(y1+y2)2-4y1y2=a2，得

16

k2

-

16b

k

=a2，
所以a2=

16(1-kb)

k2

．
②由①知，AB中点M的坐标为(

2-kb

k2

 ， 

2

k

)，点C (

1

k2

 ， 

2

k

)，S△ABC=

1

2

|MC|•|y1-y2|=

1

2

 |

1-kb

k2

|•a=

a3

32

．
③由问题②知，△ABD的面积值仅与|y₁-y₂|=a有关，由于|yA-yD|=

a

2

 ，   |yB-yD|=

a

2

，
所以△ADE与△BDF的面积S△ADE=S△BDF=

( a 2 )3

32

=

a3

32×8

=

a3

256

，设an=2n-1•

a3

32×8n-1

=

a3

32×4n-1

．
由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积
看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a_n}的无穷项和，
所以S=

a3

32

+2•

a3

32×8

+22•

a3

32×82

+23•

a3

32×83

+…+2n

a3

32×8n

+…
即S=

a3

32

+

a3

32×4

+

a3

32×42

+

a3

32×43

+…+

a3

32×4n

+…=

a3

24

，
因此，所求封闭图形的面积为

a3

24

．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题把直线的方程与椭圆方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、抛物线的定义、中点坐标公式和三角形的面积计算公式、用有限求无限的极限思想方法等是解题的关键．