Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足＋＝t (O为坐标原点)，当|－|＜时，求实数t的取值范围．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）∪.

【解析】(1)由题意知椭圆的离心率e＝＝，∴e2＝＝＝，即a2＝2b2.

又△EGF2的周长为4，即4a＝4，∴a2＝2，b2＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由，

得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.

由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，得k2＜.

x1＋x2＝，x1x2＝，

∵＋＝t，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.

∵点P在椭圆C上，∴＋2＝2，

∴16k2＝t2(1＋2k2)．

∵|－|＜，∴|x1－x2|＜，

∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜，

∴(1＋k2) ＜，

∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，∴k2＞.

∴＜k2＜.∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝＝8－，

又<1＋2k2<2，∴<t2＝8－＜4，

∴－2＜t＜－或＜t＜2，

∴实数t的取值范围为∪.