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    如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中点，且PA=BC=数学公式AD．
    （1）求证：CE∥平面PAB
    （2）求证：CD⊥平面PAC
    （3）若PA=1，求三棱锥C-PAD的体积．

    解：（1）取PA的中点F，连接EF，BF，=∵PF=FA，PE=ED，∴
    ∴，
    ∴四边形EFBC是平行四边形∴CE∥FB
    ∵CE?平面PAB，FB?平面PAB
    ∴CE∥平面PAB
    （2）设PA=1．由题意 PA=BC=1，AD=2． …（2分）
    ∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．
    ∴AB=1，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=．
    由勾股定理逆定理得 AC⊥CD． …（3分）
    又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，…（5分）
    （3）由（2）可知，PA⊥面ABCD，∴三棱锥C-PAD的体积就是P-ACD的体积，
    PA=1．由题意 PA=BC=1，AD=2，
    PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．
    ∴AB=1
    S△ACD==1，
    VC-PAD==．
    分析：（1）取PA的中点F，连接EF，BF，证明，说明四边形EFBC是平行四边形，利用CE∥FB，证明CE∥平面PAB．
    （2）设PA=1．求出AD=2．推出PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．然后证明CD⊥面PAC．
    （3）若PA=1，求三棱锥C-PAD的体积．
    点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定与证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
    E是PC的中点．求证：
    （Ⅰ）CD⊥AE；
    （Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
    （1）求证：AD⊥PB；
    （2）求三棱锥P-MBD的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
    		2
    ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
    （1）求证：PD⊥AC；
    （2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
    AE
    AP
    的值，若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
    		3
    ，点F是PB中点．
    （Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
    （Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
    （Ⅲ）若BE=
    		3
    3
    ，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
    		2
    ，设PC与AD的夹角为θ．
    （1）求点A到平面PBD的距离；
    （2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

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