Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+

π

6

)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈[0，

π

2

]，f(3α+π)=

16

5

，f(3β+

5π

2

)=-

20

13

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得

2π

ω

=6π，ω=

1

3

．…（2分）
∴f(x)=Asin(

x

3

+

π

6

)．再由f（2π）=2得 Asin(

2π

3

+

π

6

)=2，即 Asin

5π

6

=2，
∴A=4，…（4分）
∴f(x)=4sin(

x

3

+

π

6

)…（6分）
（Ⅱ）由 f（3α+π）=

16

5

得 4sin[

1

3

(3α+π)+

π

6

]=

16

5

，即4sin(α+

π

2

)=

16

5

∴cosα=

4

5

，又∵α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

3

5

．．   …（8分）
由f(3β+

5π

2

)=-

20

13

得4sin[

1

3

(3β+

5π

2

)+

π

6

]=-

20

13

，即 sin（β+π）=-

5

13

，
∴sinβ=

5

13

，又∵β∈[0

π

2

]，∴cosβ=

12

13

． …（10分）
从而cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

． …（12分）