Question

2．设命题p：函数f（x）=ln（x²+（m-3）x+1）的定义域为R；命题q：方程x²=mx-1有两个不相等的正实根．若命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用f（x）=ln（x²+（m-3）x+1）的定义域为R，即（m-3）²-4＜0即可得出p，再利用方程x²=mx-1有两个不等的正实根得出q；由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．

解答 解：若命题p为真，则f（x）=ln（x²+（m-3）x+1）的定义域为R，
即（m-3）²-4＜0，解得：1＜m＜5．
若命题q为真，则方程x²=mx-1有两个不等的正实根，
故有$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{m＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞2．
∵p或q为真，p且q为假，
∴p与q为一真一假．
∴当p为真q为假时，$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜5}\\{m≤2}\end{array}\right.$，
∴1＜m≤2；
当p为假q为真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤1或m≥5}\\{m＞2}\end{array}\right.$，
∴m≥5．
所以，实数m的取值范围是（1，2]∪[5，+∞）．

点评 熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键．