【题目】已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆
与直线
相切于点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线:
与椭圆相交于
、
两点(
,
不是长轴端点),且以
为直径的圆过椭圆
在
轴正半轴上的顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1) ;(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)利用点在椭圆上及相切关系布列方程组,即可解得椭圆的标准方程;
(2)联立方程易得: ,
,以
为直径的圆过椭圆
在
轴正半轴上的顶点,∴
,即
或
,经检验得到结果.
试题解析:
法一(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为(
,
且
)
∵在椭圆上,∴
①
由得
∵椭圆与直线
相切,∴
,
即②
由①②知,
故所求椭圆方程为
法二:设椭圆为(
,
且
)则它在点
处的切线为
,它与
表示同一直线,∴
,
,∴
,
故所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,
,联立
得
得
,
,
因为以为直径的圆过椭圆的上顶点
∴即
∴
即
即
即
∴或
当时,直线
过定点
与已知矛盾
当时,直线
过定点
满足
所以,直线过定点,定点坐标为
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【题目】正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2, E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点,则( )
A.直线与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面截正方体所得的截面面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的方程为
,直线
与曲线
交于
两点.
(1)求直线的标准参数方程;
(2)求的长;
(3)以为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点
的极坐标为
;求点
到线段
中点
的距离.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),将曲线
上各点的横坐标都缩短为原来的
倍,纵坐标坐标都伸长为原来的
倍,得到曲线
,在极坐标系(与直角坐标系
取相同的单位长度,且以原点
为极点,以
轴非负半轴为极轴)中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求直线和曲线
的直角坐标方程;
(2)设点是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最大值.
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【题目】某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品,并在今后若干年内,每年的投入资金都比上一年减少20%.估计2010年可获得投资回报收入400万元,由于该项投资前景广阔,预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%.
(Ⅰ)设第年(2010年为第一年)的投入资金为
万元,投资回报收入为
万元,求
和
的表达式;
(Ⅱ)从哪一年开始,该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入?
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