Question

（2002•上海）如图，三棱柱OAB-O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=

3

，求
（1）二面角O₁-AB-O的大小；
（2）异面直线A₁B与AO₁所成角的大小．（上述结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）分别以OA、OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系，可得O、A、B、O₁各点的坐标，从而可得

AB

、

A1O

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

m

=（2

3

，3，

3

）是平面AB0₁的一个法向量，结合

n

=（0，0，1）是平面AOB的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角O₁-AB-O的大小；
（2）根据（1）的结论，得到

A1B

=（-

3

，1，-

3

），结合

AO1

=(-

3

，1，

3

)利用空间向量夹角的公式算出

A1B

、

AO1

夹角的余弦之值，即可得到异面直线A₁B与AO₁所成角的大小．

解答：解：（1）如图，以OA、OB为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系
可得0（0，0，0），A（

3

，0，0）、B（0，2，0）、0₁（0，1，

3

）
∴

AB

=(-

3

，2，0)，

AO1

=(-

3

，1，

3

)
设

m

=（x，y，z）是平面ABO₁的一个法向量
则

m • AB =- 3 x+2y=0 m • AO1 =- 3 x+y+ 3 z=0

，取x=2

3

得y=3，z=

3

∴

m

=（2

3

，3，

3

）
又∵

n

=（0，0，1）是平面AOB的一个法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

3

12+9+3 ×1

=

2

4

因此，二面角O₁-AB-O的大小为arccos

2

4

；
（2）由（1）得A₁（

3

，1，

3

），

A1B

=（-

3

，1，-

3

）
∵

AO1

=(-

3

，1，

3

)
∴cos＜

A1B

，

AO1

＞=

A1B • AO1

|A1B| • |AO1|

=

3+1-3

7 • 7

=

1

7

因此，异面直线A₁B与AO₁所成角的大小为arccos

1

7

．

点评：本题在三棱柱中求平面与平面所成角和异面直线所成角的大小．着重考查了棱柱的性质、利用空间向量的方法研究面面角和异面直线所成角等知识，属于中档题．