Question

如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B、C，D分别为弧AE的四等分点．
（Ⅰ）在弧AE上随机取一点P，求满足

OP

在

OA

上的投影大于

2

2

的概率；
（Ⅱ）在以O为起点，再从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，则x=

2

2

的概率．

Answer 1

考点：平面向量数量积的含义与物理意义,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）根据概率定义，计算即可，
（2）通过列举法，列出所有满足条件的向的基本事件量，然后观察符合条件的基本事件，计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题知|

OP

|cos∠AOP＞

2

2

，
则0≤∠AOP＜

π

4

，
∴使得

OP

在

OA

上的射影大于

1

2

的概率P=

π 4

π

=

1

4

，
（Ⅱ）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件有：
(

OA

，

OB

)，(

OA

，

OC

)，(

OA

，

OD

)，(

OA

，

OE

)，(

OB

，

OC

)，
(

OB

，

OD

)，(

OB

，

OE

)，(

OC

，

OD)

，(

OC

，

OE

)，(

OD

，

OE

)，
其中数量积x=

2

2

的有：(

OA

，

OB

)，(

OB

，

OC

)，(

OC

，

OD

)，(

OD

，

OE

)．
则P(x=

2

2

)=

2

5

．

点评：本题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识，属于基础题．