Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点C（-2，-2）．
（1）求抛物线的标准方程
（2）求直线AB的方程
（3）求圆的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得准线方程为x=-2，即可求抛物线的标准方程；
（2）利用点差法，求直线AB的方程
（3）求得圆心坐标与半径，即可求圆的方程．

解答： 解：（1）由已知得准线方程为x=-2，
∴

p

2

=2p=4，
故所求的抛物线方程为y²=8x；
（2）令A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由已知以AB为直径的圆相切于点（-2，-2）∴y₁+y₂=-4，
由

(y1)2=8x1 (y2)2=8x2

两式相减得：

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=-2即kAB=-2，
又直线AB过抛物线的焦点（2，0），
所以所求AB直线方程为2x+y-4=0；
（3）令圆心坐标为（a，b）由（2）得b=-2，
又∵（a，b）在2x+y-4=0上，
∴a=3  （x₁+x₂=6）
又∵|AB|=x₁+x₂+p=6+4=10，
∴r=5，
故所求圆的方程为（x-3）²+（y+2）²=25．

点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．