Question

【题目】已知函数.

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的解析式，由奇函数的定义得出，结合指数运算可求出实数的值；

（2）由（1）知，函数为奇函数且为减函数，由，得出，可得出关于的方程在区间上有解，构造函数，将问题转化为二次函数在区间上有零点，结合二次函数零点分布求出实数的取值范围.

（1），函数的定义域为，

由于函数是奇函数，则，即，

，因此，；

（2）是奇函数，

则方程等价为

，即，

则，

函数在定义域上是单调函数，在区间上有解，

即在区间上有解.

构造函数，.

①若函数在区间有且只有一个零点，

则或，解得或.

当时，，令，得，，不合乎题意；

当时，，令，得，，不合乎题意；

②若函数在区间有两个零点，则，此时.

综上所述，实数的取值范围是.