Question

19．已知A（2，0），M是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（其中a＞1）的右焦点，P是椭圆C上的动点．
（Ⅰ）若M与A重合，求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若a=3，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=2，又b=1，则a²=b²+c²=5，求得a，即可椭圆C的离心率；
（Ⅱ）当a=3，求得椭圆方程，丨PA丨²=（x-2）²+y²═$\frac{8}{9}$（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，（-3≤x≤3），根据二次函数图象及性质，即可求得|PA|的最大值与最小值．

解答 解：（Ⅰ）由条件可知c=2，又b=1，
∴a²=b²+c²=4+1=5，即a=$\sqrt{5}$，
∴离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；…（4分）
（Ⅱ）若a=3，则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$，设P（x，y），
则丨PA丨²=（x-2）²+y²=（x-2）²+1-$\frac{{x}^{2}}{9}$=$\frac{8}{9}$（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，（-3≤x≤3）…（8分）
故当x=$\frac{9}{4}$时，丨PA丨_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当x=-3时，丨PA丨_max=5．…（12分）（若未说明x的取值扣1分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查二次函数性质及最值，考查计算能力，属于中档题．