Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f'（x），且x＜0时2f（x）+xf'（x）＜0恒成立，则a=f（1），b=2014f（$\sqrt{2014}$），c=2015f（$\sqrt{2015}$）的大小关系为（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 根据条件构造函数，先确定函数y=x²f（x）在（-∞，0）上是增函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

解答 解：由题意：当x＜0时，2f（x）+xf'（x）＜0恒成立，
可得：2xf（x）+x²f'（x）＞0恒成立．
构造函数g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上单调增函数，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x∈（0，+∞）时，函数g（x）单调增函数．
那么：a=f（1）=g（1），g（$\sqrt{2014}$）=2014²f（$\sqrt{2014}$）=b，g（$\sqrt{2015}$）=2015²f（$\sqrt{2015}$）=c．
∵g（1）＜g（$\sqrt{2014}$）＜g（$\sqrt{2015}$）．
∴c＞b＞a；
故选D．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．