Question

已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P．由切线的性质，结合椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程．

解答： 解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P．
由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，
故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，
故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为

x2

81

+

y2

72

=1（y≠0）

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．