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在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

解:建立如图的空间坐标系,由已知D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),
D(0,0,4),B(4,4,0)
(1)如图,连接PB,由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角,∵CC1=4CP∴CP=1,由勾股定理知BP=
∴tan∠APB===

(2)证明:由已知OH⊥面APD1,∴OH⊥AP,
连接B1D1,由于O是上底面的中心,故O∈B1D1
由正体的性质知B1D1⊥面AC1
又AP?面AC1
∴B1D1⊥AP
又B1D1∩OH=0
∴AP⊥面D1OH,
∴D1H⊥AP
(3)如图=(0,4,0),=(-4,0,4)=(-4,4,1)
令面ABD1的法向量为=(x,y,z)
故有,即
令x=1,则z=1,故=(1,0,1)
故点P到面面ABD1的距离d==
点P到面面ABD1的距离为
分析:本题宜建立空间坐标系,用空间向量来解决求线面角证线线垂直,求点到面 距离.
(Ⅰ)由题设条件,连接AC,即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为∠PAC,求出线的方向向量与面的法向量,用公式求出线面角的正弦.
(Ⅱ)由图形及题设条件可以证得AP⊥面D1OH,由线面垂直证得母线线垂直,求出两线.
(Ⅲ)用向量法求点到面的距离,求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可.
点评:本考点是立体几何,对三个问题其中前两个问题用几何法证明较易,故采用了几何法,而第三个问题点到面的垂线段不易做出,故采用了向量法求点到面的距离,在做题时应根据题目的条件灵活选用解题的方法.
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A.      B.        C.         D.

 

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(I)求三棱锥D1—ACE的体积;

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(III)求二面角A—D1E—C的正弦值。

 

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