Question

18．已知函数f（x）=asinx+bcosx满足f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（-x）对x∈R恒成立，则要得到g（x）=2sin2x的图象，只需把f（x）的图象（　　）

• A． 向右平移$\frac{π}{6}$，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$，横坐标伸长为原来的2倍
• C． 向右平移$\frac{π}{3}$，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$
• D． 向右平移$\frac{π}{3}$，横坐标伸长为原来的2倍

Answer 1

分析 由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=asinx+bcosx满足f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（-x）对x∈R恒成立，∴函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴f（0）=f（$\frac{2π}{3}$） 即 b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$b，求得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，f（x）=asinx+$\frac{\sqrt{3}}{3}a$•cosx．
根据题意，2=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}$，故可取 a=$\sqrt{3}$，f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
则要得到g（x）=2sin2x的图象，只需把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$ 即可，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．