Question

13．设函数f（x）=2sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx-$\sqrt{3}$（cosx-sinx）²．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数y=g（x），求g（$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）$f（x）=2sin（{\frac{π}{2}+x}）cosx-\sqrt{3}{（cosx-sinx）^2}$=$2{cos^2}x-\sqrt{3}（1-2sinxcosx）$=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x-\sqrt{3}$=$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1-\sqrt{3}$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3}{2}π+2kπ（k∈Z）$，求得$x∈[{\frac{π}{6}+kπ，\;\;\frac{2}{3}π+kπ}]，\;\;k∈Z$，
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得y=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]+1-$\sqrt{3}$=2sin2x+1-$\sqrt{3}$的图象；
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到函数y=g（x）=2sin4x+1-$\sqrt{3}$的，
∴g（$\frac{π}{4}$）=0+1-$\sqrt{3}$=1-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．