Question

1．已知sinα+cosα=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），求sin2α和tan2α的值．

Answer 1

分析 把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2α的值，根据2α的范围利用同角三角函数间的关系求出cos2α即可得到tan2α的值；

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$，α∈（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}}$），
∴由题意得（sinα+cosα）²=$\frac{9}{5}$，
即1+sin2α=$\frac{9}{5}$，
∴sin2α=$\frac{4}{5}$．
又2α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{3}{5}$，
∴tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=-$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道综合题．做题时学生应注意角度的范围，属于基础题．