Question

12．已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当轨迹C为焦点在y轴上的椭圆时，求λ的范围．

Answer 1

分析 （1）直接由题设可得k_PM•k_PN=$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=λ，整理得答案；
（2）由x²-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1（λ≠0，x≠±1）表示焦点在y轴上的椭圆直接求出λ值．

解答 解：（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
∴k_PM•k_PN=$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=λ，
整理得x²-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1（λ≠0，x≠±1）；
（2）要使x²-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1（λ≠0，x≠±1）表示焦点在y轴上的椭圆，
则λ＜-1．
∴当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了椭圆的简单性质，是基础题．