【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(k-3t2)+f(t2+2t)≤0恒成立,求k的取值范围.
【答案】(1)f(x)=;(2) f(x)在(-∞,+∞)上是增函数; (3)k≤-
.
【解析】
(1)当x<0时,f(x)=-f(-x)=-=
.即得f(x)的解析式. (2)先分析得到 f(x)在[0,+∞)上是增函数.又f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.(3)利用函数的奇偶性和单调性得到k-3t2≤-t2-2t,即2t2-2t-k≥0,解Δ=4+8k≤0,即得解.
(1)因为当x≥0时,f(x)=,
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-=
.
所以f(x)=
(2)当x≥0时,f(x)==2-
,
所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.
又f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
(3)由题知不等式f(k-3t2)+f(t2+2t)≤0等价于
f(k-3t2)≤f(-t2-2t),
又f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以k-3t2≤-t2-2t,即2t2-2t-k≥0,
即对一切t∈R,恒有2t2-2t-k≥0,
所以Δ=4+8k≤0,解得k≤-.
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【题目】用表示不超过
的最大整数,如
.
下面关于函数说法正确的序号是____________.(写上序号)
①当时,
;
②函数的值域是
;
③函数与函数
的图像有4个交点;
④方程根的个数为7个.
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【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
.
(1)求的值;
(2)从袋子中有放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为
.
①记“”为事件
,求事件
的概率;
②在区间内任取2个实数
,求事件“
恒成立”的概率.
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【题目】已知数集其中
,
,2,
,n,
,若对任意的
2,
,都存在
,
,使得下列三组向量中恰有一组共线:
向量
与向量
;
向量
与向量
;
向量
与向量
,则称X具有性质P,例如
2,
具有性质P.
若
3,
具有性质P,则x的取值为______
若数集
3,
,
具有性质P,则
的最大值与最小值之积为______.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为:ρsin2θ﹣6cosθ=0,直线l的参数方程为: (t为参数),l与C交于P1 , P2两点.
(1)求曲线C的直角坐标方程及l的普通方程;
(2)已知P0(3,0),求||P0P1|﹣|P0P2||的值.
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【题目】已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断,定义:
f1(x)=min{f(t)| a≤t≤x}(x∈[a,b]),
f2(x)=max{f(t)| a≤t≤x}(x∈[a,b])。
其中,min{f(x)| x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值。若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”。
(1)若f(x)=sinx,x∈[,
],请直接写出f1(x),f2(x)的表达式;
(2)已知函数f(x)=(x-1)2,x∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,如果是,求出对应的k;如果不是,请说明理由。
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