Question

已知函数f（x）=x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=e^2x-2e^x+a x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得
∵函数f（x）=x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数
∴≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≥恒成立
∵（当且仅当x=1时，等号成立）
∴
∴a≥2
（2）设t=e^x，则g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，
∵x∈[0，ln3]，∴1≤t≤3
①当2≤a≤3时，g（t）最小值为a-a²；
②当a≥3时，g（t）最小值为9-5a．
分析：（1）求导函数，根据函数f（x）=x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数，可得≥0在（1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，即可确定实数a的取值范围；
（2）设t=e^x，则g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，1≤t≤3，再分类讨论：①2≤a≤3；②a≥3，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查二次函数最值的研究，分离参数，利用配方法求二次函数的最值时关键．