Question

已知函数f（x）=

sinx

2+cosx

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤a在[0，2π]有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性即可得出；
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，则f（x）_min≤a，再利用（1）可得f（x）的单调性，即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

2cosx+1

(2+cosx)2

，
当2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）时，cosx＞-

1

2

，可得f′（x）＞0；
当2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）时，cosx＜-

1

2

，即f′（x）＜0．
因此函数f（x）的单调递增区间为(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)(k∈Z)，单调递减区间为(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)(k∈Z)．
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，则f（x）_min≤a，
由（1）可知x∈[0，

2π

3

]，[

4π

3

，2π]递增，x∈[

2π

3

，

4π

3

]递减，
∴f（x）_min=min{f（0），f(

4π

3

)}，
f（0）=0，f(

4π

3

)=-

3

3

，
∴a≥-

3

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．