Question

已知函数f（x）=x³+ax²+b在x=1处的切线方程为y=x+1．
①求a，b的值；
②求函数f（x）在区间[-1，

1

2

]上的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：①由题意先求f（x）的导函数，利用导数的几何含义和切点的实质，建立a，b的方程求解即可；
②求f（x）的导函数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[-1，

1

2

]上的值域．

解答： 解：①f′（x）=3x²+2ax，
∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x+1，
∴f′（1）=3+2a=1，即a=1，
又f（1）=2，得2+b=2，∴b=0；
②由①知f（x）=x³+x²，f′（x）=3x²+2x，
∴函数在[-1，-

2

3

]，[0，

1

2

]上单调递增，在[-

2

3

，0]上单调递减，
∵f（-1）=f（0）=0，f（-

2

3

）=

4

27

，f（

1

2

）=

3

8

，
∴函数f（x）在区间[-1，

1

2

]上的值域为[0，

3

8

]．

点评：本题考查函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．