Question

若函数f（x）在（0，+∞）上恒有xf′（x）＞f（x）成立（其中f′（x）为f（x）的导函数），则称这类函数为A类函数．
（1）若函数g（x）=x²-1，试判断g（x）是否为A类函数；
（2）若函数h（x）=ax-3-lnx-

1-a

x

是A类函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）是A类函数，当x₁＞0，x₂＞0时，证明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由A类函数的定义只证xg'（x）＞g（x）即可，通过作差可证；
（2）由题意可得xh'（x）＞h（x）恒成立，分离参数a后转化为求函数的最值即可，利用导数可求最值；
（3）令F（x）=

f(x)

x

，由条件可证F（x）递增，由单调性可得F（x₁+x₂）＞F（x₁），F（x₁+x₂）＞F（x₂），分别表示出f（x₁），f（x₂），相加可得结论；

解答： （1）解：∵g'（x）=2x，
∴xg'（x）-g（x）=2x²-（x²-1）=x²+1＞0在（0，+∞）上恒成立，即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）=x²-1是A型函数．
（2）解：h′（x）=a-

1

x

+

1-a

x2

（x＞0），
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+

1-a

x

＞ax-3-lnx-

1-a

x

，
∵x＞0，∴可化为2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e^-3，
当x∈（0，e^-3）时，p'（x）＜0，p（x）是减函数；
当x∈（e^-3，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）是增函数，
∴p（x）min=p（e^-3）=-e^-3，
∴2（a-1）＜-e^-3，a＜1-

1

2

e^-3．
（3）证明：函数f（x）是（0，+∞）上的每一点处都有导数，且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
设F（x）=

f(x)

x

，F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0在（0，+∞）时恒成立，
∴函数F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁+x₂＞x₁＞0，x₁+x₂＞x₂＞0，
∴F（x₁+x₂）＞F（x₁），F（x₁+x₂）＞F（x₂），即

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，
∴f（x₁）＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f（x₂）＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
两式相加，得f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题的能力．