Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且a_n=2

Sn

-1，n∈N^*，数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1（n≥2）是首项和公比均为

1

2

的等比数列．
（1）求证数列{S_n}是等差数列；
（2）若c_n=a_nb_n，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=1，S_n≥1，由Sn-Sn-1=2

Sn

-1(n≥2)，得到

Sn

=

Sn-1

+1，由此能证明数列{

Sn

}是等差数列．
（2）Sn=n2，a_n=2n-1，cn=(2n-1)(1-

1

2n

)=(2n-1)-

2n-1

2n

，由此利用错位相减法和分组法语和法能求出数列{a_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n=2

Sn

-1，n∈N^*，
∴由a1=S1=2

S1

-1，得a₁=S₁=1，又{a_n}的各项均为正数，∴S_n≥1，n∈N^*，
∵an=2

Sn

-1，∴Sn-Sn-1=2

Sn

-1(n≥2)，
∴(

Sn

-1)2=

Sn-1

，

Sn

=

Sn-1

+1，
∴数列{

Sn

}是等差数列；
（2）∵

Sn

=

S1

+(n-1)=n，∴Sn=n2，a_n=2n-1；
∵bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1-

1

2n

，
∴cn=(2n-1)(1-

1

2n

)=(2n-1)-

2n-1

2n

，
先求数列{

2n-1

2n

}的前n项和A_n，
∵An=

1

2

+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n

，

1

2

An=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
∴

1

2

An=

1

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，

1

2

An=

3

2

-

2n+3

2n+1

，∴An=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=n2+3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．