Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n=n（n+1）
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出数列{a_n}的通项公式，然后直接利用等差数列的定义得答案；
（2）由已知得

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再由裂项相消法求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答： （1）证明：由S_n=n（n+1），
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n．
又a₁=S₁=2．
∴a_n=2n．
∴a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2为一常数．
∴数列{a_n}为等差数列；
（2）解：∵

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．