Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-

1

3

ax3(a＞0)，函数g（x）=f（x）+e^x（x-1），其导数为g′（x），若a=e，
（1）求g（x）的单调区间；
（2）求证：x＞0时，不等式g′（x）≥1+lnx恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）a=e时，求g（x）的导函数g′（x），当g′（x）＞0时，g（x）单调增，g′（x）＜0时，g（x）的单调减，从而求出函数的单调区间；
（2）由g′（x）≥1+lnx?e^x-ex+1≥

1+lnx

x

，由（i）h（x）=e^x-ex+1≥1，得1≥

1+lnx

x

，即1+lnx-x≤0；设φ（x）=1+lnx-x（x＞0），求φ（x）的最大值与0比较即可证明．

解答： 解：（1）∵a=e，
∴函数f（x）=

1

2

x2-

1

3

ex3，
∴函数g（x）=f（x）+e^x（x-1）=

1

2

x2-

1

3

ex3+e^x（x-1），
∴g′（x）=x（e^x-ex+1）；
设h（x）=（e^x-ex+1），则h′（x）=e^x-e，
当x∈（-∞，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增函数；
∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴在（0，+∞）上，g′（x）＞0，在（-∞，0）上，g′（x）＜0；
∴g（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（-∞，0）；
证明：（2）x＞0时，g′（x）=x（e^x-ex+1）≥1+lnx?e^x-ex+1≥

1+lnx

x

；
由（1）知，h（x）=e^x-ex+1≥1，
∴1≥

1+lnx

x

，
∴1+lnx-x≤0；
设φ（x）=1+lnx-x（x＞0），则φ′（x）=

1-x

x

；
在区间（0，1）上，φ′（x）＞0，φ（x）是增函数，
在区间（1，+∞）上，φ′（x）＜0，φ（x）是减函数；
∴φ（x）≤φ（1）=0，
即1+lnx-x≤0，

1+lnx

x

≤1，
∴e^x-ex+1≥1≥

1+lnx

x

，
即g′（x）≥1+lnx恒成立；

点评：本题考查了应用导数来研究函数的单调性，极值以及证明不等式恒成立的问题，是较难的题目．