Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

考点：进行简单的演绎推理,数列的概念及简单表示法

专题：规律型

分析：（I）由已知中数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．将n=1，2，3，4分别代入，可得a₁，a₂，a₃，a₄的值，分析规律后，可得a_n的表达式．
（Ⅱ）将等比数列的定义做为大前提，（I）中猜想做为小前提，可得结论：{a_n}是等比数列．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，
当n=1时，a₁=2-S₁=2-a₁，解得：a₁=1，
当n=2时，a₂=2-S₂=2-a₁-a₂，解得：a₂=

1

2

，
当n=3时，a₃=2-S₃=2-a₁-a₂-a₃，解得：a₃=

1

4

，
当n=4时，a₄=2-S₄=2-a₁-a₂-a₄-a₄，解得：a₄=

1

8

，
…
由此归纳推理得：a_n=(

1

2

)n-1，（n∈N^*）． …（6分）
（Ⅱ）∵通项公式为a_n的数列{a_n}，
若

an+1

an

=p，p是非零常数，则{a_n}是等比数列；
因为通项公式a_n=(

1

2

)n-1，
又

an+1

an

=

1

2

；
所以通项公式a_n=(

1

2

)n-1的数列{a_n}是等比数列．…（12分）

点评：本题考查的知识点是归纳推理和演绎推理，熟练掌握两种推理的定义和适用范围，是解答的关键．