Question

已知四边形ABCD是矩形，AB=1，BC=

3

，将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB₁C且顶点B₁在平面ACD上射影O恰落在边AD上，如图所示．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CD；             
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积VB1-ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证面面垂直，需证线面垂直，根据已知，需证AB₁⊥面B₁CD，然后需证AB₁⊥CD，然后再证CD⊥面AB₁D，根据面面垂直的性质，不难证明，则将以上过程逆回去，即可证明结论；
（2）根据体积公式，由已知，容易求得△ABC的面积，而高即为B₁O，又易证△AB₁D为直角△，则斜边AD上的高B₁O可求，则体积VB1-ABC_-ABC迎刃而解．

解答： 解：（1）∵B₁O⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴B₁O⊥CD，又CD⊥AD，AD∩B₁O=O
∴CD⊥平面AB₁D，又AB₁?平面AB₁D
∴AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C
∴AB₁⊥平面B₁CD，又AB₁?平面AB₁C
∴平面AB₁C⊥平面B₁CD．
（2）由于AB₁⊥平面B₁CD，B₁D?平面ABCD，
所以AB₁⊥B₁D
在Rt△AB₁D中，B1D=

AD2-A B 2 1

=

2

，
又由B₁O•AD=AB₁•B₁D得B1O=

AB1•B1D

AD

=

6

3

，
所以VB1-ABC=

1

3

S△ABC•B1O=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

6

3

=

2

6

．

点评：线面的平行、垂直的证明，主要是线线、线面、面面三者之间的平行间关系的转化，垂直间关系的转化，或平行与垂直间的转化，充分体现了转化与化归思想的应用；三棱锥的体积问题，关键是选好底面与高，一般需要变换一下底面与顶点．