Question

设函数f（x）=x³-12x+5，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）求出函数的导函数，进而分析导函数在不同区间上的符号，进而根据导函数为正，对应函数的单调递增区间；导函数为负，对应函数的单调递减区间，得到f（x）的单调区间；再由左增右减对应函数的极大值，左减右增，对应函数的极小值，得到f（x）的极值；
（II）由（Ⅰ）作出函数f（x）的草图，进而得到方程f（x）=a有3个不同实根，可转化为a值，介于函数的两极值之间，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-12x+5，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）…（1分）
令f′（x）=0得：x₁=-2，x₂=2…（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

所以f（x）的增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），减区间是（-2，2）；  …（6分）
当x=-2时，f（x）取得极大值，极大值f（-2）=21；         …（7分）
当x=2时，f（x）取得极小值，极小值f（2）=-11．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，作出函数f（x）的草图如图所示：

由图可得：
函数的极大值为f（-2）=21，
函数的极大值为f（2）=-11，
则方程f（x）=a有3个不同实根，
可化为函数f（x）的图象与函数y=a的图象有三个交点，
故a∈（-11，21），
所以，实数a的取值范围是（-11，21）．…（12分）

点评：本题考查的知识点是根的存在及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是函数与导数的综合应用，难度中档．