Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．
（1）求曲线C的方程； 
（2）是否存在正数m，使得过点M（m，0）且斜率k=1的直线与曲线C有两个交点A、B，且满足

FA

•

FB

＜0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），由题意知：

(x-1)2+y2

=x+1，（x＞0），由此能求出曲线C的方程．
（2）设过点M（m，0），（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程为x=y+m，由

x=y+m y2=4x

，得y²-4y-4m=0，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）设曲线C上任意一点P（x，y），
由题意知：

(x-1)2+y2

=x+1，（x＞0）
化简，得y²=4x（x＞0）．
∴曲线C的方程是y²=4x，x＞0．
（2）设过点M（m，0），（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设l的方程为x=y+m，
由

x=y+m y2=4x

，得y²-4y-4m=0，
△=16+16m＞0，y₁+y₂=4，y₁y₂=-4m，①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∵

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0，②
又x=

y2

4

，∴不等式②等价于

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0，③
由①式，不等式③等价于m²-6m+1＜0，
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

，
∴m的取值范围是（0，3+2

2

）．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数方程思想的合理运用．