Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x，（x∈R）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；    
（2）求使f（x）≥2的x的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．再利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的单调递减区间．
（2）由f（x）≥2，即

2

sin(2x+

π

4

)+1≥2，化为sin(2x+

π

4

)≥

2

2

．再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2cos²x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+1+cos2x
=sin2x+cos2x+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递减区间[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）．
（2）由f（x）≥2，即

2

sin(2x+

π

4

)+1≥2，化为sin(2x+

π

4

)≥

2

2

．
∴2kπ+

π

4

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

4

，解得kπ≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴使f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，kπ+

π

4

]（k∈Z）．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．