Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+2）=-f（x），且函数y=f（x-1）为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f（x）是周期函数；       
②函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称；
③函数f（x）为R上的偶函数；   
④函数f（x）为R上的单调函数．
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：题目中条件：f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．

解答： 解：对于①：∵f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期函数且其周期为4．①对
对于②：∵y=f（x-1）是奇函数
∴其图象关于原点对称
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-1）向左平移1个单位长度得到．
∴函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（-1-x）=-f（-1+x），
即f（-1-x）+f（-1+x）=0
用x替换-1+x，可得：f（-2-x）+f（x）=0
∴f（-2-x）=-f（x）=f（x+2）对于任意的x∈R都成立．
令t=2+x，则f（-t）=f（t），
∴函数f（x）是偶函数，③对．
对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，
∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．