Question

已知抛物线E：x²=4y．
（1）若直线y=x+1与抛物线E相交于P，Q两点，求|PQ|弦长；
（2）已知△ABC的三个顶点在抛物线E上运动．若点A在坐标原点，BC边过定点N（0，2），点M在BC上且

AM

•

BC

=0，求点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

x2=4y y=x+1

，得x²-4x-4=0，由此能求出张长|PQ|．
（2）设点M的坐标为（x，y），BC边所在的方程过定点N（0，2），所以

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，2-y)，由此能求出点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）由

x2=4y y=x+1

，得x²-4x-4=0，…（2分）
△=16+16=32，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
∴|PQ|=

2

42-4•(-4)

=8．…（6分）
（2）设点M的坐标为（x，y），
∵BC边所在的方程过定点N（0，2），
∴

AM

=(x，y)，

MN

=(-x，2-y)…（8分）
∵

AM

•

BC

=0，∴

AM

•

MN

=0，
∴-x•x+y（2-y）=0，即y²+x²-y=0（y≠0），
∴点M的轨迹方程是x²+y²-y=0，（y≠0）．…（14分）
（注：没写y≠0扣1分）

点评：本题考查弦长的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．