Question

设函数f（x）=cos（

3

x+φ）（0＜φ＜π），若f（x）+f′（x）是偶函数，则φ=

 

．

Answer 1

考点：余弦函数的奇偶性,导数的运算

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：求函数的导数，利用辅助角公式将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=cos（

3

x+φ）（0＜φ＜π），
∴f′（x）=-

3

sin（

3

x+φ），
则f（x）+f′（x）=cos（

3

x+φ）-

3

sin（

3

x+φ）=2cos（

3

x+φ+

π

3

），
若f（x）+f′（x）是偶函数，
则φ+

π

3

=kπ，k∈Z，
即φ=-

π

3

+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴当k=1时，φ=

2π

3

，
故答案为：

2π

3

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用导数公司，结合辅助角公式是解决本题的关键．