Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

），离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．证明：

1

k1

-

3

k2

=2．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀，则k1=

y0

x0+1

，k2=

y0

x0-1

，由此能证明

1

k1

-

3

k2

=2．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

2

2

），离心率为

2

2

，
∴

c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解是a=

2

，b=1，c=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），∵椭圆左、右焦点分别为F₁、F₂．
点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，
直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），k1=

y0

x0+1

，k2=

y0

x0-1

，
y₀≠0，x₀+y₀=2，
∴

1

k1

-

3

k2

=

x0+1

y0

-

3(x0-1)

y0

=

4-2x0

y0

=

2y0

y0

=2．
∴

1

k1

-

3

k2

=2．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查关于两直线的斜率的等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意直线斜率公式的合理运用．